论文摘要：本文在总结传统测量重力加速度方法的基础上，通过搭建新的实验装置，探究一种新的测量重力加速度的方法。该方法具有操作方便、简单的优点，并且提高了实验数据精确度，符合探究式学习的教育理念。

　　论文关键词：自由落体，重力加速度，光电门，瞬时速度

　　引言

　　重力加速度是物理学中的一个重要参量，在实际工作中，常常需要知道重力加速度的大小。重力加速度的测定是个传统的实验，其实验方法通常有落体法测量重力加速度、用摆测量重力加速度和用液体测量重力加速度。其中落体法测量重力加速度又可分为自由落体法、气垫导轨法、斜槽法等。每种方法都有各自的优缺点，测量结果的精确度也不尽相同，但总体来说所测出的实验数据精确度普遍较低。传统的用光电门测量重力加速度时，通常存在多次测量时小球高度不固定、挡光部分不相同等缺点，并且用小球作重物时经过光电门因偏心引起的会引起误差。为了提高测量结果的精确度，本文采用自己搭建的实验装置（如图一）进行实验，该装置操作方便简单，原理易懂，并且较好的避免了多次测量时小球高度不固定、挡光部分不相同等缺点，用挡光纸片代替小球挡光，避免了用小球作重物时经过光电门因偏心引起的误差。且本实验有较高的可重复性，为多次测量求平均值提供了客观条件。

　　1.实验装置

　　设左侧空气中小球质量为m,上端用细绳通过挂钩连接砝码的质量为；光电门固定在左侧的铁架台上，并与电脑计时器连接；细绳上悬挂一个质量可以忽略的挡光纸片（其结构如图2所示），位置可以移动，纸片的左边缘与光电门的距离就是小球在空气中的下降距离。释放装置固定在右侧铁架台上，释放时用薄口刀片在其下部沿尖端方向迅速刮出，可以较好的实现零速释放。实验证明，该方法具有较好的稳定性和重复性。

　　图1实验装置

　　计数器所测得的时间就是纸片的有效距离△L通过

　　光电门的时间。当△L足够小的时候，就可用纸片在光

　　电门处通过△L的平均速度代替其瞬时速度。实验中制

　　作的纸片中△L=1.6mm，纸片和细线的质量忽略不计，△L

　　电脑计时器的计时精度为0.01ms。图2挡光纸片

　　2.实验原理

　　在本试验装置中，小球在空气中下落，小球会受到自身重力、空气浮力、空气粘滞力、挂钩摩擦力以及细绳的拉力五个力的作用，其中空气浮力和空气粘滞力在本试验中暂不考虑。

　　因为细线长度固定，所以可取小球的初始位置为坐标原点O,小球的运动方向为x轴正方向，建立整个系统的动力学方程为：

　　（1）

　　如果用质量为的砝码代替，设挂钩造成的阻力变为，则系统的动力学方程为：

　　（2）

　　取质量不同的两个配重砝码其主要目的是消去（1）式（2）式中的摩擦力和，当取，则。

　　联立（1）（2）两式得：

　　（3）

　　做以下变换：

　　则（3）式变为：（4）

　　上式中，而并非加速度，。

　　则有：

　　（5）

　　3.实验方法与步骤

　　（1）用游标卡尺测定挡光纸片的隙缝宽度△L，并用天平称出小球质量，以及两个配重砝码的质量、；

　　（2）打开电脑计时器，系上重物，让小球在坐标原点处自由下落，读出小球下降高度，即挡光纸片距离光电门的距离，平均时间，即光电门连接的电脑计时器读数。系上重物，重复上述过程，依次记录和，注意每次测量小球需从同一高度自由下落；

　　（3）通过公式计算出下降不同高度时，挡光隙缝在通过光电门时的瞬时速度，即为小球下落的瞬时速度；

　　（4）作出和的拟合曲线，再分别求出两条曲线的导函数图像，即可得到和的导函数图像；

　　（5）运用Origin读取数据，再代入（5）式中，求解，并计算当地重力加速度。

　　4.实验数据处理

　　实验所测为兰州重力加速度。小球质量为8.44g，配重砝码=2.90g，=3.20g，=1.6mm。

　　下降深度（m）

　　0.01

　　0.02

　　0.03

　　0.04

　　0.05

　　0.06

　　0.07

　　0.08

　　0.09

　　0.10

　　平均时间（ms）

　　11.25

　　7.95

　　6.50

　　5.63

　　5.03

　　4.59

　　4.25

　　3.98

　　3.75

　　3.56

　　测量时间（ms）

　　11.12

　　11.38

　　11.61

　　10.89

　　7.84

　　8.08

　　8.06

　　7.82

　　6.78

　　6.80

　　6.32

　　6.20

　　5.83

　　5.66

　　5.42

　　5.61

　　4.97

　　5.07

　　4.84

　　5.21

　　4.63

　　4.59

　　4.59

　　4.55

　　4.41

　　4.34

　　4.14

　　4.09

　　4.02

　　3.96

　　4.18

　　3.78

　　3.82

　　3.77

　　3.78

　　3.68

　　3.42

　　3.70

　　3.57

　　3.55

　　下降深度（m）

　　0.11

　　0.12

　　0.13

　　0.14

　　0.15

　　0.16

　　0.17

　　0.18

　　0.19

　　0.20

　　平均时间（ms）

　　3.39

　　3.25

　　3.12

　　3.01

　　2.90

　　2.81

　　2.73

　　2.65

　　2.58

　　2.52

　　测量时间（ms）

　　3.37

　　3.41

　　3.36

　　3.42

　　3.23

　　3.26

　　3.25

　　3.26

　　3.13

　　3.13

　　3.10

　　3.12

　　3.03

　　3.00

　　2.98

　　3.01

　　2.91

　　2.89

　　2.89

　　2.90

　　2.82

　　2.80

　　2.81

　　2.82

　　2.75

　　2.71

　　2.73

　　2.74

　　2.68

　　2.63

　　2.65

　　2.66

　　2.59

　　2.59

　　2.58

　　2.57

　　2.53

　　2.52

　　2.50

　　2.51

　　表1不同下降距离时所测得的时间（砝码=2.90g）

　　通过表1、表2的数据，计算出表3数据，利用软件做出（曲线A）和（曲线B）的拟合曲线，如下图：

　　图3拟合曲线

　　下降深度（m）

　　0.01

　　0.02

　　0.03

　　0.04

　　0.05

　　0.06

　　0.07

　　0.08

　　0.09

　　0.10

　　平均时间（ms）

　　13.21

　　9.34

　　7.63

　　6.61

　　5.91

　　5.39

　　4.99

　　4.67

　　4.40

　　4.18

　　时间（ms）

　　13.22

　　13.17

　　13.23

　　13.21

　　9.35

　　9.31

　　9.34

　　9.36

　　7.65

　　7.67

　　7.59

　　7.62

　　6.62

　　6.63

　　6.58

　　6.61

　　5.92

　　5.90

　　5.89

　　5.93

　　5.38

　　5.37

　　5.42

　　5.39

　　4.97

　　5.01

　　4.98

　　4.99

　　4.65

　　4.68

　　4.67

　　4.66

　　4.38

　　4.37

　　4.45

　　4.40

　　4.21

　　4.23

　　4.10

　　4.18

　　下降深度（m）

　　0.11

　　0.12

　　0.13

　　0.14

　　0.15

　　0.16

　　0.17

　　0.18

　　0.19

　　0.20

　　平均时间（ms）

　　3.98

　　3.81

　　3.66

　　3.53

　　3.41

　　3.30

　　3.20

　　3.11

　　3.03

　　2.95

　　时间（ms）

　　3.95

　　3.94

　　3.98

　　4.07

　　3.85

　　3.82

　　3.81

　　3.76

　　3.67

　　3.69

　　3.69

　　3.67

　　3.54

　　3.53

　　2.56

　　3.67

　　3.42

　　3.39

　　3.42

　　3.41

　　3.28

　　3.32

　　3.30

　　3.31

　　3.21

　　3.24

　　3.20

　　3.15

　　3.10

　　3.11

　　3.12

　　3.11

　　3.01

　　3.01

　　3.03

　　3.05

　　2.96

　　2.97

　　2.92

　　2.95

　　表2不同下降距离时所测得的时间（砝码=3.20g）

　　用挡光纸片的有效距离除以表1及表2中的平均时间，即是挡光纸片在通过光电门时小球下落的瞬时速度，见表3：

　　下降深度（m）

　　0.01

　　0.02

　　0.03

　　0.04

　　0.05

　　速度（m/s）

　　0.1422

　　0.2012

　　0.2462

　　0.2841

　　0.3181

　　速度（m/s）

　　0.1211

　　0.1713

　　0.2097

　　0.2421

　　0.2707

　　下降深度（m）

　　0.06

　　0.07

　　0.08

　　0.09

　　0.10

　　速度（m/s）

　　0.3486

　　0.3765

　　0.4020

　　0.4267

　　0.4494

　　速度（m/s）

　　0.2968

　　0.3206

　　0.3426

　　0.3636

　　0.3828

　　下降深度（m）

　　0.11

　　0.12

　　0.13

　　0.14

　　0.15

　　速度（m/s）

　　0.4720

　　0.4923

　　0.5128

　　0.5316

　　0.5517

　　速度（m/s）

　　0.4020

　　0.4199

　　0.4372

　　0.4532

　　0.4692

　　下降深度（m）

　　0.16

　　0.17

　　0.18

　　0.19

　　0.20

　　速度（m/s）

　　0.5693

　　0.5860

　　0.6037

　　0.6202

　　0.6349

　　速度（m/s）

　　0.4849

　　0.5000

　　0.5145

　　0.5281

　　0.5424

　　表3不同下降距离对应的速度

　　通过软件作出和的导函数曲线，如下图：

　　图4微分曲线

　　运用Origin取数工具，可以读出上图中的数据点，可得到和数据。因为小球质量为8.44g，配重砝码=2.90g，=3.20g，为已知量，所以（5）式可化简为：

　　（6）

　　将对应数据代入（6）式中，便可求的对应的重力加速度、……，最后用最小二乘法处理出重力加速度=9.7315。　5.实验注意事项

　　对于小球和配重砝码质量问题，切忌小球的质量不可以过大于配重砝码的质量和，如果过大于和，小球下降的速度过快，使细线不稳定，挡光纸片在经过光电门时造成读数不稳定，使测量的数据产生较大的误差，从而造成测量结果的不精确。

　　6.实验拓展

　　对本实验装置稍加改动，可用于液体粘滞系数的测定，实验装置如下图：

　　图5改进后装置

　　小球在无限宽广的粘滞性较大的液体中缓慢运动时所受到的粘滞阻力，由斯托克斯公式有：，其中为液体的粘滞系数，为小球的直径，是小球的运动速度。在本试验装置中，小球在装有待测液体的量筒中心下落，小球会受到自身重力、浮力、粘滞阻力、挂钩摩擦力以及细绳的拉力五个力的作用，其中粘滞阻力随着速度的增加而增加。实验中发现，细线和待测液体之间存在较大的粘滞阻力。根据层流理论，这个力与线的运动速度﹑与线和待测液的接触长度成正比，即，其中k的物理意义是单位长度的细线在待测液体中以单位速度运动时受到的阻力。

　　取线与液面的交点为坐标原点，小球的运动方向为x轴正方向，建立整个系统的动力学方程为：

　　（7）

　　如果用质量为的砝码代替，设挂钩造成的阻力变为，则系统的动力学方程为：

　　（8）

　　取，则

　　做以下变换：

　　联立（1）（2）两式得：（9）

　　上式两边同除以，并令（10）

　　则上式变为（11）

　　具体实验操作步骤与测量重力加速度的步骤相近，这里不做过多论述。

　　7.实验讨论

　　1.测量重力加速的基本思路是：只要关系式中包含有重力加速度的，均可考虑能否通过该关系式测出其它物理量，从而间接的测出重力加速度。在设计时，根据公式的不同、仪器选择的不同、数据处理的不同都可以引申出很多测量的方法。

　　2.光电门的光源不是理想光源，发散角大，光接收部分又易受到干扰，会影响实验精确度。如果条件允许可以自制激光计时器，可以克服原发光二极管电门定位不准、易受干扰等缺点。

　　3.为了提高实验效率以及实验结果的准确度，可以对本文的实验装置进行进一步的改进，主要是利用单片机对原实验的光电信号进行检测，完成较精确的计时、计算、存储、显示以及数据处理等一系列工作，可以极大的改善实验环境、丰富了实验内容以及提高了实验效率。

　　4.本实验装置的优点是：较好的避免了多次测量时小球高度不固定、挡光部分不相同等缺点，用挡光纸片代替小球挡光，避免了用小球作重物时经过光电门因偏心引起的误差。且本实验有较高的可重复性，为多次测量求平均值提供了客观条件。

　　5.通过实际测量，验证了本方法的可行性，但在实验原理中并未考虑空气的浮力及粘滞力的影响。如果将上面的因素考虑进去，实验结果的精度会进一步提高。

　　结论

　　1.实验测出兰州重力加速度为=9.7315，兰州重力加速度的参考值为9.7843,测量结果与参考值偏差为0.6%，比自由落体法4.9%的偏差和气垫导轨法2%的偏差要小，测量结果相对较精确；

　　2.实验中需要测量大量的数据，如果同时采用多个光电门，这样通过一次释放就可以测得多个数据；

　　3.如果增加待测液体（如图5），让小球在在待测液体中下落，忽略空气阻力，根据小球下落过程中各点的瞬时速度，按照实验拓展中的原理，仿照前面的实验步骤，可以测定待测液体的粘滞系数。

　　参考文献

　　1 胡巍。测量重力加速度的原理[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版）， 2006,（1）：20—21.

　　2 李继红，张清早。用落体法测重力加速度的实验方案选择[J].物理通报，2009年第三期：36—37.

　　3 杜方炳，杨红梅，夏湘芳。重力加速度测量仪的设计与制作[M].物理实验， 2007,27（11）：27.

　　4 王勤国。测量重力加速度有几种方法[J].中学生理科月刊，2005—2.:3

　　5 朱瑞兴，曹正东。落球法测定重力加速度实验的改进[M].大学物理实验，2002年第15卷（3）期。：26—28.

　　6 苏世栋，利用单片机改进重力加速度测量仪[J].运城学院学报， 2006,24（5）：27—28.

　　7 春宁。测定重力加速度的几种方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2007,第23卷（6）期：5—6.